变换的应用#
- 旋转
- 缩放
- 位置移动
- 光栅化
二维变换#
缩放 (Scale Matrix)#
缩放变换是线性代数和计算机图形学中最基础的几何变换之一，用于将图形按比例放大或缩小.
- 数学表达 对于平面上任意一点 \((x, y)\)，经过缩放因子为 \(s\) 的变换后，新坐标 \((x', y')\) 为：
当 \(s > 1\) 时，图形放大。
当 \(0 < s < 1\) 时，图形缩小（如图中 \(s=0.5\)）。
当 \(s = 1\) 时，图形大小不变（恒等变换）。
矩阵形式
翻转 (Reflection Matrix)#
2D 翻转（反射）是把图形沿某条直线（轴）做镜像，得到对称图形。
常见：沿 x 轴翻转、沿 y 轴翻转、沿原点
矩阵形式
$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$沿 x 轴：y 变号
沿 y 轴：x 变号
沿原点：x、y 都变号
矩阵都是对角矩阵，对角线上是 ±1
剪切 (Shear Matrix)#
剪切变换(shear transformation)是空间线性变换之一，是仿射变换的一种原始变换。它指的是类似于四边形不稳定性那种性质，方形变平行四边形，任意一边都可以被拉长的过程。
旋转 (Rotation Matrix)#
二维绕原点旋转矩阵推导
几何原理
取坐标系单位基向量，旋转后坐标直接构成矩阵列：
- 基向量 \(\boldsymbol{i}=(1,0)\) 逆时针转\(\theta\) → \((\cos\theta,\sin\theta)\)
- 基向量 \(\boldsymbol{j}=(0,1)\) 逆时针转\(\theta\) → \((-\sin\theta,\cos\theta)\)
关键记忆点
- 第一列：x轴基向量旋转结果
- 第二列：y轴基向量旋转结果
- 负号固定在右上 \(-\sin\theta\) → 仅适用于逆时针*
- 顺时针旋转θ，负号移到左下： $$ \boldsymbol{R}_{-\theta}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} $$
线性变换 = 矩阵(Linear transforms = Matrices)#
核心结论#
所有二维线性变换，都可以用一个同维度的方阵表示，这是线性代数、计算机图形学的底层核心。
线性变换的代数形式#
二维平面内任意点 \((x,y)\)经过线性变换后得到新坐标 \((x',y')\)，满足一次齐次线性关系：
$$ \begin{cases} x' = ax + by \\ y' = cx + dy \end{cases} $$矩阵形式（列向量标准式）#
将线性方程组改写为矩阵 × 列向量的形式，是图形学、线性代数的通用写法：
$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$向量简化形式#
用向量符号统一表达，形式更简洁：
$$ \mathbf{x}' = \mathbf{M}\mathbf{x} $$- \(\mathbf{x}\)：原坐标列向量 - \(\mathbf{x}'\)：变换后坐标列向量
- \(\mathbf{M}\)：线性变换矩阵（2×2方阵）
核心意义#
- 一切线性变换（旋转、缩放、翻转、剪切）本质都是一个矩阵
- 变换的组合 = 矩阵的乘法
- 变换的逆操作 = 矩阵的逆
- 仅包含x、y一次项，无常数项、无高次项，才是线性变换
记忆要点#
线性变换无平移、无常数偏移，仅由坐标的线性组合构成，可完全由方阵描述。
