GAMES101学习笔记02:向量与线性代数

向量

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• 定义
• 标准化
• 求和
• 坐标表示

向量最重要的两个属性：1.方向 2.本身的长度

向量定义: \(\vec{AB} = B - A\)

从点 \(A\) 指向点 \(B\) 的向量 \(\vec{AB}\)，等于终点 \(B\) 的坐标减去起点 \(A\) 的坐标。

向量的标准化

向量的模长

向量的模，就是向量的长度、大小，符号写作：\(\|\vec{a}\|\)

$$ |\vec{a}\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} $$

用勾股定理可以求出向量的模长

\({a_x}\) : x 轴上的分量（水平）

\({a_y}\) : y 轴上的分量（水平）

** 向量的模长 = 从原点到该向量终点的直线距离 = 直角三角形的斜边长度（用勾股定理算出来的）**

单位向量（Unit Vector）：

长度为 1 的向量，记作 \(\hat{a} \)（用 ^ 标记）。它只保留原向量的方向，丢掉了 “长度” 这个信息。

$$ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} $$

向量求和

平行四边形法则

• 把两个向量的起点放在一起：让向量 a 和 b 从同一个点出发。
• 以这两个向量为邻边，画一个平行四边形。
• 从共同起点出发的那条对角线，就是两个向量的和 a+b

三角形法则

• 把一个向量的起点接到另一个向量的终点上：先画向量 a，再把向量 b 的起点放在 a 的终点上。
• 从 a 的起点连到 b 的终点，这条线段就是 a+b

$$ \vec{a} = (a_x, a_y),\quad \vec{b} = (b_x, b_y) $$$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y) $$

图形学中的坐标表示

图形学上一般用列向量表示向量

$$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \mathbf{A}^\text{T} = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} $$

点乘

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速览

• 点乘主要应用于求两个单位向量的夹角，
• 观察两个向量之间是同向、垂直还是反向，可以观察两个向量的接近，若两个向量的点乘接近1则离得很近，若接近0则离得很远
• 利用投影可将一个向量分解成两个（多个）向量和

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos\theta $$$$ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} $$

余弦（cos）是什么

直角三角形里的定义:

在一个直角三角形中，对于一个锐角 θ：

$$ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $$

邻边：和角 θ 直接相连的那条直角边

斜边：直角三角形里最长的那条边

点乘的计算

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• 交换律
• 结合律
• 分配律

$$ \cancel{(交换律)} \newline \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $$$$ \cancel{(分配律)} \newline \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} $$$$ \cancel{(结合律)} \newline (k\vec{a} )\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) $$

• 2D点乘

  $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \end{pmatrix} = x_a x_b + y_a y_b $$

• 3D点乘

  $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b $$

点乘的作用

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• 寻找两个向量之间的夹角

  $$ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} $$

• 找到一个像两个在另一个向量上的投影

  

\(\vec{b}_\perp\) 是 \(\vec{b}\) 在向量 \(\vec{a}\) 上的投影

投影向量的方向必须与向量A完全一致,表示为

$$ \vec{b}_\perp = k\hat{a} $$

投影长度的计算

$$ k = \|\vec{b}_\perp\| = \|\vec{b}\|\cos\theta $$

k 是投影向量 b⊥​ 的模长（大小）。
它等于原向量 b 的模长 ∥b∥ 乘以两向量夹角 θ 的余弦值 cosθ。
这个公式来自直角三角形的边角关系：投影长度就是 b 在 a 方向上的 “影子” 长度

• 判断向量的方向

cosθ 如何反映方向？

• 当 θ<90∘ 时：cosθ>0 → 点积为正。

这说明两个向量的方向大致相同，夹角是锐角。

• 当 θ=90∘ 时：cosθ=0 → 点积为 0。

这说明两个向量互相垂直，没有任何方向上的重叠。

• 当 θ>90∘ 时：cosθ<0 → 点积为负。

这说明两个向量的方向大致相反，夹角是钝角。

叉乘

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速览

• AxB=-BxA
• 判定左右（内外）
  • 若AxB为正则点A在点B在A左侧，若点P在点A、B、C内，则ABXAP，BCxBP,CAxCP结果都为外（内）则P在ABC内
  • 若任意一个结果不同则P在ABC外
• 定义坐标系
  • 要求：单位向量、互相垂直（点乘为0且叉乘结果为另外一轴）
  • 可以获得任意一个向量分解为多个投影

• 方向：右手螺旋定则(OpenGL左手坐标系)
• 作用: 建立三维空间直角坐标系
• 坐标运算：克莱姆法则

向量叉乘

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一、标准正交基向量叉乘（3D 坐标系基础）

$$ \begin{aligned} \vec{x} \times \vec{y} &= +\vec{z} \\ \vec{y} \times \vec{x} &= -\vec{z} \\ \vec{y} \times \vec{z} &= +\vec{x} \\ \vec{z} \times \vec{y} &= -\vec{x} \\ \vec{z} \times \vec{x} &= +\vec{y} \\ \vec{x} \times \vec{z} &= -\vec{y} \end{aligned} $$

二、叉乘核心代数性质

$$ \begin{aligned} 1.\ &\text{反交换性：} \quad \vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) \\ 2.\ &\text{自身叉乘为零向量(长度是0)：} \quad \vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} \\ 3.\ &\text{对向量加法的分配律：} \quad \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \\ 4.\ &\text{数乘结合律：} \quad \vec{a} \times (k\vec{b}) = k(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (k \in \mathbb{R}) \end{aligned} $$

三、叉乘模长公式（几何意义）

$$\begin{aligned}| \vec{a} \times \vec{b}| &= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\theta \quad (0^\circ \le \theta \le 180^\circ) \end{aligned} $$

作用

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1. 判定左和右

用叉乘的方向反应右手螺旋定则的旋转的方向反映左右

向量叉乘判断左右位置

一、场景

图中向量 a 和 b 都在 x-z 平面上（y 分量为 0）。

我们想判断 b 相对于 a 的左右位置。

二、核心计算

计算叉乘 a×b，结果只有 y 分量：

a×b=(0,ax​bz​−az​bx​,0)

我们只关心这个 y 分量的正负号。

三、判断规则

叉乘 y 分量符号	b 相对于 a 的位置	旋转方向
> 0	在 a 的左侧	逆时针
< 0	在 a 的右侧	顺时针
= 0	与 a 共线	无旋转

结合你的图来看：

• b 在 a 的左侧
• 所以 a×b 的 y 分量为正
• 方向指向 +y 轴（向上）

四、一句话总结

叉乘结果的 y 分量为正 → 左；为负 → 右；为零 → 共线。

2. 判定内和外 (三角形光栅化基础)

绕同一个方向判断这个向量与其他所有向量的左右位置，如果都一致则在内部。

三角形内外判断

一、准备工作：定义向量

我们以图中的三角形 ABC 和内部点 P 为例。

首先，给三角形的每条边定义一个有向边向量，并定义从边起点到 P 点的向量：

边	边向量	点向量（从边起点到 P）
AB	AB=B−A	AP=P−A
BC	BC=C−B	BP=P−B
CA	CA=A−C	CP=P−C

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二、核心计算：三次叉乘

对每条边，计算 “边向量” 与 “点向量” 的叉乘。

我们在 x-y 平面进行计算，叉乘结果只有 z 分量，我们只需关注其正负号。

1. 第一条边 AB

   c1​=AB×AP

   图中 P 在 AB 的左侧，所以 c1​>0

2. 第二条边 BC

   c2​=BC×BP

   图中 P 在 BC 的左侧，所以 c2​>0

3. 第三条边 CA

   c3​=CA×CP

   图中 P 在 CA 的左侧，所以 c3​>0

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三、判断内外：符号一致性

• 内部：c1​,c2​,c3​ 全部同号（全部为正，或全部为负）

  就像图中的 P 点，三个叉乘结果都为正，说明它始终在所有边的同一侧。

• 外部：如果有任何一个结果的符号与其他不同

  说明点 P 穿过了至少一条边。 四、一句话记忆

所有叉乘结果同号 → 内部；出现异号 → 外部

3. 定义直角坐标系

叉乘构建右手坐标系

图中的核心关系是：w=u×v

这正是叉乘在定义三维空间中的关键作用：

1. 当 u 和 v 是两个互相垂直的单位向量时，它们的叉乘结果 w 会自动满足：

   • 垂直于前两者：w⋅u=0 且 w⋅v=0
   • 单位长度：∥w∥=∥u∥∥v∥sin(90∘)=1

2. 这个性质保证了 u,v,w 三者能构成一组右手正交单位基，即一个完美的局部坐标系。

二、坐标分解的本质

基于这组基，任何向量 p​ 都可以被分解为：

p​=(p​⋅u)u+(p​⋅v)v+(p​⋅w)w

这是因为三个基向量互相垂直且长度为 1，点积 (p​⋅u) 就直接代表了 p​ 在 u 方向上的分量大小。

三、图形学中的应用

• 构建局部空间：在渲染中，为每个物体建立一个基于叉乘的局部坐标系，方便计算光照和朝向。
• 向量投影与分解：将世界空间的向量转换到局部空间，或反之，是 3D 变换的基础。

矩阵

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速览

• （MxN）（NxP）=（MxP）
• 矩阵没有交换律，只有结合律
• 转置：(AB)T=BT AT
• 单位矩阵I（对角阵I）：可以算出矩阵A-1(A逆)，可以用于返回变换前的结果
• 向量的点乘、叉乘都可以转换为矩阵相乘
• 点乘：A·B=ATB
• 叉乘：AxB=A*B

矩阵是由数字（或其他数学对象）按矩形阵列排列而成的集合

一个 M × N 的矩阵包含 N 行和 N 列，共有 M × N 个元素。

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} $$$$ \text{向量叉乘写成矩阵乘法形式：} \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} $$

矩阵乘法

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$$ \text{若 } A \text{ 是 } m \times n \text{ 矩阵，} B \text{ 是 } n \times p \text{ 矩阵，} \\ \text{则 } C = A \times B \text{ 是 } m \times p \text{ 矩阵。} $$

• 性质 : 结合律，分配律，没有交换律

$$ \begin{aligned} (A \cdot B)\cdot C = A \cdot (B\cdot C) \\ A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \\ (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \end{aligned} $$

矩阵乘法 · 2×2 简洁演示

设：

$$ A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix} $$

1. 能否相乘

   $$ A：2\times2，B：2\times2 $$

   前列数 = 后行数 → 可相乘

2. 结果形状

   $$ 2\times2 \times 2\times2 = \boldsymbol{2\times2}$$

3. 计算规则（唯一核心）

   $$ C_{ij} = A_{第i行} \cdot B_{第j列} \text{（对应相乘，再相加）}$$

   核心公式:

   $$ C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \cdot B_{kj} $$

4. 逐元素计算

   $$ \begin{aligned} C_{11} &= 1\times5 + 2\times7 = 5+14=19 \\ C_{12} &= 1\times6 + 2\times8 = 6+16=22 \\ C_{21} &= 3\times5 + 4\times7 = 15+28=43 \\ C_{22} &= 3\times6 + 4\times8 = 18+32=50 \end{aligned} $$

   [!VISUAL]- 计算过程可视化 > >

   $$ > > \begin{pmatrix} > > \color{red}{1} & \color{red}{2} \\ > > 3 & 4 > > \end{pmatrix} > > \times > > \begin{pmatrix} > > \color{blue}{5} & 6 \\ > > \color{blue}{7} & 8 > > \end{pmatrix} > > = > > \begin{pmatrix} > > \color{purple}{19} & 22 \\ > > 43 & 50 > > \end{pmatrix} > > $$
   $$ \color{red}{1}\times\color{blue}{5} + \color{red}{2}\times\color{blue}{7} = \color{purple}{19} $$

5. 最终结果

   $$ C=A\times B=\begin{pmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{pmatrix} $$

6. 重要性质

矩阵乘法 不满足交换律

$$ A\times B \neq B\times A $$

尺寸匹配：前矩阵的列数 = 后矩阵的行数。

结果尺寸：前行数 × 后列数。

计算规则：结果的第 i 行第 j 列 = A 的第 i 行 点乘 B 的第 j 列。

顺序敏感：A×B ≠ B×A，顺序不能乱。

单位矩阵

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1. 定义

主对角线全为 1，其余元素全为 0 的方阵，记作 \(I\) 或 \(I_n\)。

它就像数字里的 “1”，任何矩阵和它相乘，结果都不变。

2. 示例

$$ \begin{aligned} I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad I_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{aligned} $$

3. 核心性质 .
   • 单位元性质：\(A \times I = I \times A = A\)
   • 对称矩阵：\(I^T = I\)
   • 逆矩阵关系：\(A \times A^{-1} = I\)
4. 矩阵乘积的逆矩阵法则

• 若 \(A\) 和 \(B\) 都是可逆矩阵，则它们的乘积 \(AB\) 也可逆，且： $$ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $$
• 核心逻辑（“穿衣服”比喻）
  1. 把矩阵乘法 \(AB\) 想象成“先穿袜子 \(A\)，再穿鞋 \(B\)”。
  2. 要撤销这个操作，必须按倒序：“先脱鞋（\(B^{-1}\)），再脱袜子（\(A^{-1}\)）”。
  3. 因此，\((AB)\) 的逆就是 \(B^{-1}A^{-1}\)。
• 推导

根据逆矩阵的定义，我们只需验证 \((AB)(B^{-1}A^{-1}) = I\)：

$$ \begin{aligned} (AB)(B^{-1}A^{-1}) &= A(BB^{-1})A^{-1} \quad \text{结合律：只加括号，不换顺序} \\ &= AIA^{-1} \quad \text{逆矩阵定义：}BB^{-1}=I \\ &= AA^{-1} \quad \text{单位矩阵性质：}AI=A \\ &= I \quad \text{逆矩阵定义：}AA^{-1}=I \end{aligned} $$

同理可证 \((B^{-1}A^{-1})(AB) = I\)，故法则成立。

转置

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1. 定义: 将矩阵的行与列互换，沿主对角线翻转。 记为 \(A^T\)。
2. 形状规则: 若 \(A\) 是 \(m\times n\)，则 \(A^T\) 是 \(n\times m\)。
3. 元素规则 \[ (A^T)_{ij} = A_{ji} \]
4. 示例（2×2）

$$ \begin{aligned} % 2×2 转置示例 A &= \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^T = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix} \\[1em] % 3×2 转置示例 B &= \begin{pmatrix}1 & 5 \\ 2 & 6 \\ 3 & 7\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad B^T = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7\end{pmatrix} \end{aligned} $$

6. 重要性质

$$ \begin{aligned} (A^T)^T &= A \\ (A+B)^T &= A^T+B^T \\ (kA)^T &= kA^T \\ (AB)^T &= B^TA^T \quad (\text{顺序反转}) \end{aligned} $$

6. 对称矩阵

满足 \(A^T=A\)，元素关于主对角线对称。