变换 (Transformation)

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变换可以用运动的思路来思考. 我们有一个输入向量，然后经过变换之后，得到一个输出向量。整个过程，可以看作是输入的向量移动到了输出的输出的位置。考虑整个平面上的向量，在经过变换之后，得到了一个最新的位置。

$$ \text{向量输入} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{L(\vec{v})} \text{向量输出} \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} $$

线性变换 (Linear transformation)

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线性变换：输入一个向量输出一个向量。变换后网格保持平行且等距。线性变换是对空间的一种变换操作。

线性变换的条件

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线性变换的条件：

• 直线在变换后依然是直线。
• 原点还在原来的位置。

  

即：保持网格线平行且等距分布的变换

如何用数值描述线性变换（矩阵向量乘法）

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只需要记录基向量变换后的位置，而标量代表输入向量是不变的

一些动画参考: 【线性变换动画演示】

【【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集】 【精准空降到 04:02】 用向量描述线性变换:

$$ \begin{array}{c} \hat{i} \to \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \quad \hat{j} \to \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \\[12pt] \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \to x \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} \end{array} $$

坐标变换：矩阵是一种线性空间变换的描述（矩阵的列向量，是坐标变换后的基向量）。

线性变换的复合

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变换的复合：一个变换之后再进行另一个变换，这个新的线性变换通常被成为两个独立变换的”复合变换“。

• 描述复合变换的两种方式：
  • 追踪ihat和jhat，用矩阵直接完全描述这个复合变换。
  • 先用一个矩阵描述第一个变换，再用另一个矩阵作用于第一次变换后的结果描述总的变换。

方法一可以直接得到这个复合变换

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$

方法二,则需要先旋转在进行剪切:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right) \quad \text{——矩阵乘法。} $$

由于这两种变换相同：

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right) $$

矩阵乘法

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几何表达

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矩阵乘法的几何意义：两个变换相继作用

对于基向量i

$$ \overbrace{\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}^{M_2} \overbrace{\begin{bmatrix} \color{green}{1} & -2 \\ \color{green}{1} & 0 \end{bmatrix}}^{M_1} = \begin{bmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{bmatrix} $$

计算第一列（$\hat{i}$ 的变换）：

$$ \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{green}{1} \\ \color{green}{1} \end{bmatrix} = 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} $$

对于基向量j:

$$ \overbrace{\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}^{M_2} \overbrace{\begin{bmatrix} 1 & \color{red}{-2} \\ 1 & \color{red}{0} \end{bmatrix}}^{M_1} = \begin{bmatrix} 2 & ? \\ 1 & ? \end{bmatrix} $$

计算第二列（$\hat{j}$ 的变换）：

$$ \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{red}{-2} \\ \color{red}{0} \end{bmatrix} = -2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix} $$

最终结果：复合矩阵

$$ \overbrace{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}}^{M_2} \overbrace{\begin{bmatrix} e & {f} \\ g & {h} \end{bmatrix}}^{M_1} = \begin{bmatrix} ae + bg & {af + bh} \\ ce + dg & {cf + dh} \end{bmatrix} $$

性质

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根据矩阵乘法的几何意义可以看到,一个矩阵的变换顺序不同,最后得到的矩阵结果是不同的.

矩阵乘法： 矩阵乘法性质：

• 交换律： $$\mathbf{M}_1 \mathbf{M}_2 \neq \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1$$
• 先旋转再剪切和先剪切再旋转不同
• 结合律： $$ \mathbf{ABC} = \mathbf{A(BC)} $$
• 作用顺序不影响变换结果
• 分配律： $$ \mathbf{C(A + B)} = \mathbf{CA} + \mathbf{CB} $$